Własności funkcji harmonicznych

Definicja 1: Funkcji harmonicznej.

Funkcję klasy \( \hskip 0.3pc C^2\hskip 0.3pc \) w obszarze \( \hskip 0.3pc \Omega \subset\mathbb R^n,\hskip 0.3pc \) spełniającą w tym obszarze równanie Laplace'a:

\( \Delta u =0, \hskip 1.3pc x\in \Omega, \)

nazywamy funkcją harmoniczną w \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc \).

Funkcje harmoniczne posiadają wiele interesujących własności, a ich teoria stanowi rozbudowany dział matematyki. Poniżej podamy niektóre własności tych funkcji. Rozpoczniemy od prostych wniosków wynikających łatwo z wzorów Gaussa-Greena.

Wniosek 1:

Niech \( \hskip 0.3pc \Omega \subset\mathbb R^n\hskip 0.3pc \) będzie obszarem ograniczonym o regularnym brzegu \( \hskip 0.3pc \partial \Omega. \hskip 0.3pc \) Niech \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) będzie funkcją harmoniczną

w obszarze \( \hskip 0.3pc U \supset \overline{\Omega }.\hskip 0.3pc \) Wówczas

\( \displaystyle\int_{\partial \Omega }\dfrac {\partial u}{\partial \nu}(x)dS=0, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \nu\hskip 0.3pc \) jest normalną do \( \hskip 0.3pc \partial \Omega \hskip 0.3pc \).

Istotnie, ze wzoru 5 z modułu "Twierdzenie Gaussa-Greena i wzory Greena" wynika, że

\( \displaystyle\int_{\partial \Omega }\dfrac {\partial u}{\partial \nu}(x)dS=\displaystyle\int_\Omega \Delta u(x) dx=0. \)

Wniosek 2:

Jeśli funkcja \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jest klasy \( \hskip 0.3pc C^2\hskip 0.3pc \) w obszarze ograniczonym \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc \) i ponadto dla dowolnego obszaru regularnego \( \hskip 0.3pc D\subset \Omega\hskip 0.3pc \)

\( \displaystyle\int_{\partial D}\dfrac {\partial u}{\partial \nu}(x)dS=0, \)

to \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jest funkcją harmoniczną w \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \).

Istotnie, niech \( \hskip 0.3pc x\in \Omega \hskip 0.3pc \) i niech \( \hskip 0.3pc B(x,\varepsilon )\hskip 0.3pc \) będzie kulą zawartą w \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc \).
Ze wzoru 5 z modułu "Twierdzenie Gaussa-Greena i wzory Greena" oraz założeń wniosku 2 wynika że

\( \displaystyle\int_{\partial B (x,\varepsilon )}\dfrac {\partial u}{\partial \nu}(x)dS=\displaystyle\int_{B (x,\varepsilon )} \Delta u(x) dx=0. \)

Ponieważ ostatnia równość zachodzi dla dowolnego dostatecznie małego \( \hskip 0.3pc \varepsilon >0\hskip 0.3pc \), wnosimy stąd, że \( \hskip 0.3pc \Delta u(x)=0\hskip 0.3pc \). Teza wniosku została dowiedziona, bowiem \( \hskip 0.3pc x \in \Omega \hskip 0.3pc \) jest dowolne.

Niech \( \hskip 0.3pc \Omega \subset \mathbb R^n\hskip 0.3pc \) będzie zbiorem otwartym i niech \( \hskip 0.3pc u:\Omega \to \mathbb R\hskip 0.3pc \) będzie funkcją harmoniczną w \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc \). Wówczas dla dowolnego \( \hskip 0.3pc x \in \Omega \hskip 0.3pc \) oraz kuli \( \hskip 0.3pc B(x,r) \subset \Omega \hskip 0.3pc \), wartość \( \hskip 0.3pc u(x)\hskip 0.3pc \) jest równa średniej wartości funkcji \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) na sferze \( \hskip 0.3pc \partial B(x,r)\hskip 0.3pc \) oraz średniej wartości funkcji \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) na kuli \( \hskip 0.3pc B(x,r)\hskip 0.3pc \).
Oznaczmy przez \( \hskip 0.3pc \upsilon_r\hskip 0.3pc \) powierzchnię, a przez \( \hskip 0.3pc \omega_r\hskip 0.3pc \) objętość kuli \( \hskip 0.3pc B(x,r)\subset\mathbb R^n. \hskip 0.3pc \) Nietrudno sprawdzić, że \( \hskip 0.3pc \omega_r = (r/n)\upsilon_r.\hskip 0.3pc \)
Jeśli \( \hskip 0.3pc \alpha (n)\hskip 0.3pc \) oznacza objętość kuli jednostkowej w przestrzeni \( \hskip 0.3pc\mathbb R^n,\hskip 0.3pc \) to \( \hskip 0.3pc \omega_r =\alpha (n)\,r^n,\hskip 0.3pc \) natomiast \( \hskip 0.3pc \upsilon_r =n\alpha (n)r^{n-1}.\hskip 0.3pc \)

Twierdzenie 1: Własność wartości średniej.

ZAŁOŻENIA:

Niech \( \hskip 0.3pc u \in C^2(\Omega )\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc\big( \Omega\subset\mathbb R^n \hskip 0.3pc {\rm otwarty}\big)\hskip 0.3pc \) będzie funkcją harmoniczną.

TEZA:

Wtedy

(1)

\( u(x)=\dfrac 1{\upsilon_r}\displaystyle\int_{ \partial B (x,r)} u\,dS=\dfrac 1{\omega_r}\displaystyle\int_{B (x,r)} u\,dy,\quad x \in \Omega, \)

dla dowolnego \( \hskip 0.3pc r>0 \hskip 0.3pc \)takiego, że \( \hskip 0.3pc B(x,r)\subset \Omega. \hskip 0.3pc \)

DOWÓD:

Połóżmy

(2)

\( \varphi (r)=\dfrac 1{\upsilon_r}\displaystyle\int_{\partial B (x,r)} u(y)\,dS(y). \)

Podstawiając \( \hskip 0.3pc y=x+rz\hskip 0.3pc \) i uwzględniając związki \( \hskip 0.3pc dS(y)=r^{n-1}dS(z)\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc v_r=r^{n-1}v_1\hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( \varphi (r)=\dfrac 1{\upsilon_1}\displaystyle\int_{\partial B (0,1)} u(x+rz)\,dS(z). \)

Różniczkując ostatni wzór względem \( \hskip 0.3pc r\hskip 0.3pc \) a następnie wracając do zmiennych wyjściowych mamy

\( \begin{aligned}\varphi '(r)=&\dfrac 1{\upsilon_1}\displaystyle\int_{\partial B (0,1)} \nabla u(x+rz)\cdot\,z\,dS(z)=\dfrac 1{\upsilon_r}\displaystyle\int_{\partial B (x,r)} \nabla u(y)\cdot\,\dfrac{y-x}{r}\,dS(y)=\\=&\dfrac 1{\upsilon_r}\displaystyle\int_{\partial B (x,r)} \dfrac{\partial u}{\partial \nu}(y)dS(y), \end{aligned} \)

gdzie symbol \( \hskip 0.3pc \cdot \hskip 0.3pc \) oznacza iloczyn skalarny, a \( \hskip 0.3pc \nu=(y-x)/r\hskip 0.3pc \) jest unormowanym wektorem normalnym do powierzchni \( \hskip 0.3pc {\partial B(x,r)}\hskip 0.3pc \).

Po zastosowaniu twierdzenia Greena do ostatniej całki otrzymamy

\( \varphi ^\prime (r)=\dfrac 1{\upsilon_r}\displaystyle\int_{B (x,r)} \Delta u(y)\,dy=0, \)

bowiem \( \hskip 0.3pc \Delta u=0.\hskip 0.3pc \) Oznacza to, że \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) jest funkcją stałą. Z drugiej strony przechodząc z \( \hskip 0.3pc r \to 0\hskip 0.3pc \) we wzorze ( 2 ) otrzymamy \( \hskip 0.3pc \phi (0)=u(x).\hskip 0.3pc \) W konsekwencji \( \hskip 0.3pc \varphi (r)=u(x),\hskip 0.3pc \) dla dowolnego \( \hskip 0.3pc r>0\hskip 0.3pc \), takiego, że \( \hskip 0.3pc B(x,r)\subset U.\hskip 0.3pc \) Zatem pierwsza równość w ( 1 ) jest spełniona. Z kolei przechodząc na współrzędne biegunowe, po wykorzystaniu wzoru ( 2 ), równości \( \hskip 0.3pc \varphi (r)=u(x)\hskip 0.3pc \) oraz równości

\( \omega_r =\displaystyle\int_0^r \upsilon_sds, \)

otrzymamy

\( \displaystyle\int_{B (x,r)} u(y)\,dy = \displaystyle\int_0^r\bigg(\displaystyle\int_{\partial B (x,s)} u\,dS\bigg)ds =\displaystyle\int_0^r\varphi (s)\upsilon_s\, ds = u(x)\displaystyle\int_0^r\upsilon_s\, ds =\omega_ru(x), \)

co daje drugą równość we wzorze ( 1 ) i kończy dowód.

Własność wyrażoną wzorem ( 1 ) nazywamy własnością wartości średniej.

Twierdzenie 2:

ZAŁOŻENIA:

Załóżmy, że \( \hskip 0.3pc u \in C^2(\Omega)\hskip 0.3pc \) i dla każdej kuli \( \hskip 0.3pc B(x,r)\subset \Omega\hskip 0.3pc \)

\( u(x)=\dfrac 1{\upsilon_r}\displaystyle\int_{\partial B (x,r)}u(y)dS(y), \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \upsilon _r\hskip 0.3pc \) oznacza powierzchnię sfery \( \hskip 0.3pc \partial B(x,r).\hskip 0.3pc \)

TEZA:

Wtedy funkcja \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jest harmoniczna w \( \hskip 0.3pc \Omega.\hskip 0.3pc \)

DOWÓD:

Załóżmy, dla dowodu nie wprost, że \( \hskip 0.3pc \Delta u \neq 0\hskip 0.3pc \). Wówczas istnieje kula \( \hskip 0.3pc B(x,r)\subset \Omega\hskip 0.3pc \) taka, że \( \hskip 0.3pc \Delta u >0\hskip 0.3pc \) lub \( \hskip 0.3pc \Delta u <0\hskip 0.3pc \) na \( \hskip 0.3pc B(x,r)\hskip 0.3pc \). Niech \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) będzie dane wzorem ( 2 ). Z założenia twierdzenia wynika, że \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) jest funkcją stałą dla \( \hskip 0.3pc r\hskip 0.3pc \) dostatecznie małych. Z drugiej strony, powtarzając argumenty dowodu twierdzenia 1, nietrudno sprawdzić, że

\( \varphi^\prime (r)=\dfrac 1{\upsilon_r}\displaystyle\int_{B (x,\,r)}\Delta u dy . \)

Z ostatniej równości wynika, że dla \( \hskip 0.3pc r\hskip 0.3pc \) dostatecznie małych \( \hskip 0.3pc \varphi ^\prime (r) \neq 0.\hskip 0.3pc \) Otrzymana sprzeczność kończy dowód.

Twierdzenie 3: Regularność.

ZAŁOŻENIA:

Zakładamy, że funkcja \( \hskip 0.3pc u \in C^2(\Omega)\hskip 0.3pc \) ma własność wartości średniej.

TEZA:

Wtedy \( \hskip 0.3pc u\in C^{\infty}(\Omega). \)

DOWÓD:

Rozważmy funkcje

\( \psi (r)=\begin{cases} Ce^{ 1/(r^2-1)}, &{\rm dla} \hskip 0.5pc 0\leq r<1;\\ 0, &{\rm dla}\hskip 0.5pc r\geq 1,\end{cases} \)

gdzie \( \hskip 0.3pc C\hskip 0.3pc \) jest stałą. Nietrudno pokazać, że funkcja \( \hskip 0.3pc\psi \in C^{\infty}(\mathbb R). \hskip 0.3pc \)
Niech

\( \Psi (x):=\psi (\|x\|),\hskip 0.6pc x\in \mathbb R^n. \)

Dobieramy stałą \( \hskip 0.3pc C\hskip 0.3pc \) tak, aby

\( \displaystyle\int_{\mathbb R^n}\Psi (x)\,dx=1. \)

Oczywiście \( \hskip 0.3pc \Psi \in C^{\infty}(\mathbb R^n).\hskip 0.3pc \) Dla \( \hskip 0.3pc \varepsilon >0\hskip 0.3pc \) połóżmy

\( \Psi_{ \varepsilon}(x)=\Psi (x/\varepsilon )/\varepsilon^n\qquad {\rm dla}\hskip 0.5pc x\in\mathbb R^n. \)

Oczywiście funkcja \( \hskip 0.3pc \Psi_{\varepsilon }\hskip 0.3pc \) jest klasy \( \hskip 0.3pc C^{\infty}\hskip 0.3pc \) na \( \hskip 0.3pc \mathbb R^n,\hskip 0.3pc \) zeruje się poza kulą \( \hskip 0.3pc B(0,\varepsilon )\hskip 0.3pc \) i ponadto

\( \displaystyle\int_{B (0,\varepsilon)}\Psi_{\varepsilon}(x)\,dx=1. \)

Niech \( \hskip 0.3pc \Omega_{\varepsilon}=\big\{x\in \Omega\,:\hskip 0.3pc B(x,\varepsilon )\subset \Omega\big\}\hskip 0.3pc \). Dla \( \hskip 0.3pc x\in \Omega_{\varepsilon}\hskip 0.3pc \) połóżmy

\( u_{\varepsilon}(x)= \displaystyle\int_\Omega\Psi_{ \varepsilon }(x-z)u(z)dz = \displaystyle\int_{B (x,\,\varepsilon )}\Psi_{ \varepsilon }(x-z)u(z)\,dz. \)

Stąd i własności funkcji \( \hskip 0.3pc \Psi_{\varepsilon }\hskip 0.3pc \) wynika, że \( \hskip 0.3pc u_{\varepsilon} \in C^{\infty}(\Omega_{\varepsilon }).\hskip 0.3pc \) Pokażemy teraz, że \( \hskip 0.3pc u=u_{\varepsilon }\hskip 0.3pc \) w zbiorze \( \hskip 0.3pc \Omega_{\varepsilon }.\hskip 0.3pc \) Istotnie, dla \( \hskip 0.3pc x\in \Omega_{\varepsilon }\hskip 0.3pc \) mamy

\( \begin{aligned}u_{\varepsilon }(x)=& \displaystyle\int_\Omega\Psi_{\varepsilon}(x-z)u(z)dz= \dfrac 1{\varepsilon ^n}\displaystyle\int_{B (x,\varepsilon )}\Psi \big(\dfrac {x-z}{\varepsilon} \big)u(z)dz=\dfrac 1{\varepsilon ^n}\displaystyle\int_0^\varepsilon \Big(\displaystyle\int_{\partial B (x,r )}\Psi \big(\dfrac {x-z}{\varepsilon}\big)u(z)dS(z)\Big)dr =\\=&\dfrac 1{\varepsilon ^n}\displaystyle\int_0^\varepsilon \psi \big(\dfrac {r}{\varepsilon}\big) \Big( \displaystyle\int_{\partial B (x,r )}u(z)dS(z)\Big)dr=\dfrac{u(x)}{\varepsilon ^n} \displaystyle\int_0^{\varepsilon}\psi \big(\dfrac {r}{\varepsilon}\big)u_rdr=\dfrac{u(x)}{\varepsilon ^n} \displaystyle\int_0^{\varepsilon}\psi \big(\dfrac {r}{\varepsilon}\big)\displaystyle\int_{\partial B (0,\,r )}dS(z)dr=\\=&\dfrac{u(x)}{\varepsilon ^n} \displaystyle\int_0^{\varepsilon}\Big(\displaystyle\int_{\partial B (0,\,r )}\Psi \big(\dfrac {z}{\varepsilon}\big)dS(z)\Big)\,dr= \dfrac {u(x)}{\varepsilon ^n} \displaystyle\int_{B (0,\,\varepsilon )}\Psi \big(\dfrac {z}{\varepsilon}\big)\,dz= u(x)\displaystyle\int_{B (0,\,\varepsilon)}\Psi_{\varepsilon}(z)\,dz = u(x), \end{aligned} \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \upsilon_r\hskip 0.3pc \) oznacza powierzchnię kuli \( \hskip 0.3pc B(x,\,r).\hskip 0.3pc \) Z otrzymanej równości wynika, że \( \hskip 0.3pc u\in C^{\infty}(\Omega _{\varepsilon }).\hskip 0.3pc \) Ponieważ \( \hskip 0.3pc \varepsilon >0\hskip 0.3pc \) może być dowolnie małe, \( \hskip 0.3pc u\in C^{\infty}(\Omega),\hskip 0.3pc \) co kończy dowód.

Twierdzenie 4: Nierówność Harnacka.

ZAŁOŻENIA:

Niech \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) będzie nieujemną funkcją harmoniczną w obszarze \( \hskip 0.3pc \Omega\subset\mathbb R^n\hskip 0.3pc \).

TEZA:

Wówczas dla dowolnego spójnego i zwartego zbioru \( \hskip 0.3pc K \subset \Omega\hskip 0.3pc \) istnieje stała \( \hskip 0.3pc c\hskip 0.3pc \) (zależna od \( \hskip 0.3pc K\hskip 0.3pc \)) taka, że

\( \dfrac {u(y)}{c}\leq u(x) \leq c u(y) \qquad {\rm dla}\hskip 0.6pc x,\,y\in K. \)

W szczególności

\( \displaystyle\sup_{x\in K} u(x) \leq c \displaystyle\inf_{x\in K} u(x). \)

DOWÓD:

Niech \( \hskip 0.3pc r=\dfrac 12 {\rm dist}(K,\partial \Omega ).\hskip 0.3pc \) Niech \( \hskip 0.3pc x,\,y\in K,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \|x.-y\|\leq r.\hskip 0.3pc \)

Na podstawie twierdzenia 1

\( u(x)= \dfrac{1}{\omega_{2r}}\displaystyle\int_{B (x,\,2r)}u(z)\,dz \geq \dfrac 1{\omega_{2r}} \displaystyle\int_{B (y,\,r)}u(z)\,dz= \dfrac 1{2^n \omega_{r}}\displaystyle\int_{B (y\,,r)}u(z)\,dz=\dfrac 1{2^n}u(y). \)

Wnioskujemy stąd, że \( \hskip 0.3pc 2^{-n}u(y)\leq u(x)\leq 2^n u(y).\hskip 0.3pc \) Ponieważ \( \hskip 0.3pc K \hskip 0.3pc \) jest zbiorem zwartym, możemy pokryć go skończoną liczbą, powiedzmy \( \hskip 0.3pc N,\hskip 0.3pc \) kul o promieniu \( \hskip 0.3pc r.\hskip 0.3pc \) Ponieważ ponadto \( \hskip 0.3pc K\hskip 0.3pc \) jest zbiorem spójnym, dowolne dwa punkty \( \hskip 0.3pc x,\,y\in K\hskip 0.3pc \) możemy połączyć łańcuchem liczącym co najwyżej \( \hskip 0.3pc N\hskip 0.3pc \) kul z tego pokrycia i takim, że pierwsza kula zawiera punkt \( \hskip 0.3pc x,\hskip 0.3pc \) ostatnia punkt \( \hskip 0.3pc y,\hskip 0.3pc \) a dowolne dwie kolejne kule mają niepuste przecięcie. Oczywiście

\( \hskip 0.3pc 2^{-nN}u(y)\leq u(x)\leq 2^{nN} u(y), \)

skąd teza twierdzenia wynika natychmiast.

Istnieją też ścisłe związki między funkcjami harmonicznymi dwu zmiennych a funkcjami analitycznymi jednej zmiennej zespolonej. Mianowicie, część rzeczywista \( \hskip 0.3pc u=u(x.y)\hskip 0.3pc \) i część urojona \( \hskip 0.3pc v=v(x,y)\hskip 0.3pc \) funkcji analitycznej \( \hskip 0.3pc f(z)=u(x,y) +iv(x,y)\hskip 0.3pc \) zmiennej zespolonej \( \hskip 0.3pc z=x+iy\hskip 0.3pc \) są funkcjami harmonicznymi (dokładniej funkcjami harmonicznymi sprzężonymi). Na odwrót, mając daną funkcję harmoniczną, możemy łatwo skonstruować odpowiadającą jej funkcję analityczną. Stąd też szereg własności funkcji harmonicznych jest natychmiastową konsekwencją stosownych własności funkcji zmiennej zespolonej i na odwrót.

Twierdzenie 5:

ZAŁOŻENIA:

Funkcja \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jest harmoniczna w obszarze \( \hskip 0.3pc \Omega\subset \mathbb R^2.\hskip 0.3pc \)

TEZA:

Wtedy \( \hskip 0.3pc u\in C^{\infty}(\Omega).\hskip 0.3pc \)

DOWÓD:

Ustalmy punkt \( \hskip 0.3pc (x_0,y_0)\in \Omega\hskip 0.3pc \) i dla dowolnego punktu \( \hskip 0.3pc (x,y)\in \Omega\hskip 0.3pc \) połóżmy

\( v(x,y)=\displaystyle\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}u_{\eta}d\xi-u_{\xi}d\eta . \)

Zauważmy, że funkcje \( \hskip 0.3pc u_x,\,u_y,\,v_x,\,v_y\hskip 0.3pc \) są klasy \( \hskip 0.3pc C^1\hskip 0.3pc \) w \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) i ponadto spełnione są warunki Cauchy-Riemanna. Z teorii funkcji analitycznych wynika, że \( \hskip 0.3pc f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\hskip 0.3pc \), gdzie \( \hskip 0.3pc z=x+iy\hskip 0.3pc \), jest funkcją holomorficzną. Posiada ona zatem pochodne dowolnego rzędu, skąd wynika, że \( \hskip 0.3pc u,\,v \in C^{\infty}(\Omega)\hskip 0.3pc \).

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Własności funkcji harmonicznych

Definicja 1: Funkcji harmonicznej.

Wniosek 1:

Wniosek 2:

Twierdzenie 1: Własność wartości średniej.

ZAŁOŻENIA:

TEZA:

DOWÓD:

Twierdzenie 2:

ZAŁOŻENIA:

TEZA:

DOWÓD:

Twierdzenie 3: Regularność.

ZAŁOŻENIA:

TEZA:

DOWÓD:

Twierdzenie 4: Nierówność Harnacka.

ZAŁOŻENIA:

TEZA:

DOWÓD:

Twierdzenie 5:

ZAŁOŻENIA:

TEZA:

DOWÓD: